Barycentric coördinaten

In de wiskunde barycentric coördinaten zijn een vorm van homogene coördinaten gedefinieerd door de hoekpunten van een simplex geïntroduceerd in 1827 door August Ferdinand Möbius. Kan worden gedefinieerd in een Euclidische ruimte, of in een meer algemene vector ruimte of affine. In een affiene ruimte neemt ook de naam van affiene coördinaten.

Definitie

In een vectorruimte

Zijn hoekpunten van een simplex in een vector ruimte van dimensie. Een punt van de simplex heeft barycentric coördinaten

of het is verbonden

Opdat deze relatie zinvol is derhalve noodzakelijk dat de som van beide niet nul. De barycentric coördinaten zijn niet uniek: als ze de barycentric coördinaten van een punt, ook zal het voor elke niet-nul. Coördinaten uniek worden als het de relatie oplegt

Het geven van de top een positieve massa, het punt is eigenlijk om het zwaartepunt van de hoekpunten gewogen, vandaar de naam te zijn.

In een affiene ruimte

Zijn hoekpunten van een simplex in een affiene ruimte van dimensie. Zodanig dat

Het punt van barycentric coördinaten

is het punt

Waar is elk punt van het vliegtuig.

Eigenschap

De hoekpunten van de simplex hebben coördinaten

De punten met de coördinaten niet negatief zijn precies betrekking tot de simplex, het convex omhulsel van zijn hoekpunten. De punten met coördinaten strikt positief zijn het interieur van de simplex.

De vlakken van de simplex wordt verkregen door er bepaalde coördinaten gelijk aan nul. Zo worden de drie zijden van de driehoek in drie rechte lijnen, in barycentric coördinaten beschreven door de vergelijkingen

Barycentric coördinaten in 2 dimensies

Het eenvoudigste geval waarin de coördinaten barycentric voorkomt in 2 dimensies, waarbij de simplex is een driehoek. Als we de hoekpunten van deze driehoek x1, x2 en x3 vervolgens elk punt r kan worden geschreven volgens de barycentric roepen coördineert λ1, λ2 en λ3 als

De onzekerheid over barycentric coördinaten te elimineren kan de normalisering conditie te introduceren

of

Op dit moment kunnen we het probleem te keren, of om de coördinaten waarde van de zwaartekracht die de positie van het punt in cartesiaanse coördinaten weten. In feite kunnen we de positie in cartesiaanse coördinaten van het punt als functie van de coördinaten van de hoekpunten van de driehoek ontwikkeling

Het maken van vervangende

het heeft derhalve

en dan

Het oplossen van dit lineair systeem verkregen

en

waarin

die completeert de inversie van het probleem.

Barycentric coördinaten in digitale afbeeldingen

Barycentric coördinaten een brede toepassing in het gebied van computer graphics. Bijvoorbeeld gebruikt een werkwijze voor het kleuren van een veelhoek te vermengen om hun vorm te verbergen "flat" is die van Gouraud shading waar de lichtintensiteit wordt berekend op de hoekpunten van een driehoek en vervolgens het uitvoeren van een lineaire interpolatie gebruikt barycentric coördinaten op het gehele oppervlak.

Een andere toepassing is het barycentric generaliseren coördineert niet alleen de Simplices ook generiek en veelhoeken om de coördinaten van elk punt van een 3D-model met behulp barycentric de coördinaten van de hoekpunten van de veelhoek bepalen. In dit geval vormt de veelhoek een soort "kooi" rond het model en vervormen van de veelhoek worden verkregen door vervorming van het zachte model in het interieur.

(0)
(0)
Commentaren - 0
Geen reacties

Voeg een Commentaar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha