Exact differentiële

In calculus, een exacte verschil of totale differentiaal is een 1-exacte differentiële vorm:

dat wil zeggen, zodanig dat er een functie, genoemde potentieel, dat voldoet:

Een differentiële exact als en alleen als het wordt geïntegreerd, dat wil zeggen, als de magnitude expressie als functie van de klasse, waarvan de afbeelding is een deelverzameling van de reële getallen. De directe implicatie is afhankelijk van het feit dat de tweede klasse continuïteit toelaat steeds één differentieel. Het begrip differentiële generaliseren als infinitesimale hoeveelheden willekeurig gedefinieerd is nuttig voor een test om te bepalen of uitgedrukt als functie van de variabelen, of dat het niet, omdat in het laatste geval wordt niet opgeslagen op een geheel gesloten zijn variabelen.

Definitie

Hieronder beschouwen we het driedimensionale geval, hoewel de discussie geldt een ruimte van willekeurige afmeting. Een differentiële vorm heet exacte differentiële vorm op een domein als er een scalaire functie gedefinieerd op dat:

heel. Dit is als zeggen dat het vectorveld een conservatief vectorveld, overeenkomend met de gradiënt van een scalaire veld.

In één dimensie, een differentiële vorm is precies als het een primitief. Anders is het niet bezitten primitieve kan schrijven en vorm niet exact.

In twee dimensies, de stelling van Schwarz elke voldoende reguliere functie heeft de eigenschap:

waaruit volgt dat in een simpelweg verbonden regio van het xy-vlak, een verschil:

is een exacte verschil als en alleen als de relatie:

In drie dimensies, een verschil:

wordt een exacte verschil in een gebied eenvoudig aangesloten als het xy-vlak tussen functies, en is de relatie:

waarbij de variabele buiten de haakjes onder geeft de variabele die constant wordt gehouden tijdens de differentiatie.

Kortom, wanneer een verschil bestaat en geclaimd:

onafhankelijk van de onderstaande pad.

Schwartz criterium

Als de functie van n variabelen, accepteert een differentieel, deze overeenkomt met de scalair product tussen de gradiënt en:

waar de laatste gelijkheid de stip product heeft uitgelegd. Integratie:

is toegestaan ​​als en slechts als alle functies integrands afhankelijk zijn van andere variabelen met dezelfde trend:

namelijk als de verificatie stelling Schwarz, geldige verklaring voor de functies van de tweede klasse continuïteit. Aangezien de differentiële gewoonlijk gebouwd impliciet afhankelijkheid van het verschil van de variabelen, namelijk in de vorm:

het criterium op de test indien:

en waarbij nauwkeurige differentieel heeft, die kan worden uitgedrukt. Voor een functie van een variabele uiteraard dit vermindert om te verifiëren dat het behoort tot de eerste klasse van de continuïteit, namelijk dat zowel continue functie.

De betrekkingen tussen de partiële afgeleiden

Als er drie variabelen, en zijn gerelateerd door een aantal differentieerbare functie, dan bestaat de volgende exacte verschillen:

Het plaatsen van de eerste vergelijking in de tweede verkrijgt men:

Omdat zij zijn onafhankelijke variabelen en kan willekeurig worden gekozen. Dus het laatste rapport geldt in het algemeen is het noodzakelijk dat de termen tussen haakjes zijn non-existent.

Het plaatsen van nul de eerste term tussen haakjes hebben we:

met eenvoudige stappen die leidt tot de wederzijdse relatie:

Het plaatsen van nul de tweede term tussen haakjes, hebben we:

en via een wederzijdse relaties met de cyclische relatie, ook wel bekend als "triple rule of product" krijgen:

Maar als u met behulp van een wederkerige relatie wordt verkregen voor een standaard formule voor de differentiatie impliciet:

Toepassing in de thermodynamica

Denk aan de hoeveelheid warmte in een oneindig transformatie uitgewisseld:

wanneer ze in de volgorde waarin de warmte bij constant volume, de verandering in temperatuur, de druk en de volumeverandering. De vergelijking vertaalt de eerste wet van de thermodynamica voor ideale gassen; Het is gemakkelijk te zien dat in het algemeen:

Daarom geen exacte verschil, zodat de warmte niet een toestand functie van het systeem.

Gezien de toename oneindig entropie we:

en als voor het ideale gas wordt geldig is verkregen:

Deze keer hebben we:

dus het is een exacte verschil voor ideale gassen. Entropie is dan ook een state-functie:

(0)
(0)
Commentaren - 0
Geen reacties

Voeg een Commentaar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha