Jensen's ongelijkheid

Jensen ongelijkheid is een ongelijkheid die de waarde van een convexe functie bindt aan de waarde van dezelfde functie berekende gemiddelde waarde van het argument. Het werd verkondigd en gedemonstreerd door Jensen in 1906. Jensen's ongelijkheid kan in verschillende contexten en met verschillende graden van algemeenheid, de meest relevante daarvan worden hieronder weergegeven worden ingevoerd.

Uitingen

De meest elementaire vorm van Jensen's ongelijkheid kan worden gesteld als een gewogen gemiddelde van een eindig aantal reële getallen. Het kan wijd gegeneraliseerd in het kader van de theorie van de meting, en vindt de meest natuurlijke en krachtig in het formalisme van de theorie van waarschijnlijkheid. Zij worden voorzien onder het eerste stel ongelijkheid en demonstraties daarvan.

Bedenk dat als het een convexe functie, dan is het concaaf, en dus ongelijkheid gelijk aan die hieronder worden verkregen functies concaaf, die aan de ongelijkheden keren hetzelfde.

Discreet

Een positief geheel getal. Voor een convexe functie in reële waarde, en de reële getallen in het domein, en voor de positieve gewichten, Jensen's ongelijkheid luidt:

Met name wanneer de gewichten zijn allemaal gelijk aan 1:

dat wil zeggen de berekende gemiddelde is kleiner dan het gemiddelde van de waarden.

Ongelijkheid in de notatie van de theorie van de meting

In de bovenstaande formules, is het natuurlijk om te vragen of je een soort doorgang kan leveren aan de continue. Het antwoord is ja, en Jensen's ongelijkheid kan als volgt worden gegeneraliseerd.

Of een maatregel ruimte, zoals dat. Als het een integreerbare functie van reële waarde en een convexe functie van het beeld, dan:

Ongelijkheid in de notatie van de kansrekening

Hetzelfde resultaat kan natuurlijker worden uitgedrukt in de context van de theorie van waarschijnlijkheid. Een kansruimte een reële waarde willekeurige variabele die de verwachte waarde heeft, en een convexe functie die ook de verwachte waarde bezitten. Vervolgens:

Deze probabilistische notatie wordt de maatregel in feite bedoeld als waarschijnlijkheid, de integraal met betrekking tot hoe een verwachte waarde, en functioneren als een willekeurige variabele.

De algemene ongelijkheid in de kansrekening

Meer in het algemeen, zowel een ruimte topologische vector, en een willekeurige variabele met waarden in integreerbare. In deze context, geïntegreerd betekent dat elk element in het dubbele van de zaak, en dat er een element zodat. Vervolgens wordt voor elke convexe functie meetbaar op, en voor elke sub-σ-algebra:

Hier geeft de wachtende toestand ten opzichte van de σ-algebra. Deze uitspraak meer algemene komt neer op als de vorige algemene topologische vectorruimte wordt vervangen reële as en de triviale σ-algebra.

Rekenkundig gemiddelde en geometrische

De functie is hol, met in dit geval Jensen's ongelijkheid vermindert om de ongelijkheid van het rekenkundig gemiddelde en de meetkundig gemiddelde.

In feite:

waar de laatste ongelijkheid volgt uit Jensen's ongelijkheid.

Toepassingen voor specifieke ongelijkheden

Jensen's ongelijkheid kunt u gemakkelijk bewijzen vele ongelijkheden elementaire. Bijvoorbeeld, voor elk paar positieve reële getallen zodanig dat de ongelijkheid geldig

Om dit te demonstreren, zien we dat de functie

Het convex positieve, doordat de tweede afgeleide steeds positief voor deze waarden. Van Jensen's ongelijkheid volgt

dwz juist

(0)
(0)
Commentaren - 0
Geen reacties

Voeg een Commentaar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha