Kakutani fixed-point stelling

In de wiskunde, de stelling van Kakutani is een vast punt stelling uitbreiding van de stelling van Brouwer functies om meerdere waarden.

De stelling werd bewezen door Shizuo Kakutani in 1941 en werd gebruikt door John Nash in zijn beroemde bewijs van het bestaan ​​van een Nash-evenwicht; later een brede toepassing in de speltheorie en economie vond hij.

Voorlopige definities

A "applicatie meerdere waarden" F uit een set X een set Y een wet die één of meer elementen van Y associeert op elk punt van X. Formeel kan worden weergegeven als een functie van X naar alle delen van Y en geschreven als f: X → 2.

Gegeven twee metrische ruimten X en Y, een applicatie om meerdere waarden f: X → 2 het zegt "gesloten" als om welke volgorde met, en het heeft.

Laat f: X → 2 een multi-gewaardeerde functie. Dan is een ∈ X een vast punt van f als een ∈ f.

Verklaring

Het wordt gegeven een eindig dimensionale Euclidische ruimte X en K is een deelverzameling van X, compact, convex en niet leeg.

Beide toepassing meerstemmige met de volgende eigenschappen:

  • f is gesloten;
  • elk is een niet lege deelverzameling convexe K.

Dan is f geeft toe minstens één vast punt in K.

Voorbeelden

Laat f een functie gedefinieerd op de gesloten meerstemmige, dat komt neer op het punt x het gesloten interval. Dan f voldoet aan alle hypothesen van de stelling en moet ten minste één vast punt hebben.

De functie meerstemmige dat elke x in F overeen met de singleton {1} en elke x in F match de singleton {0}, voldoet aan alle hypothesen van de stelling van Kakutani, behalve om convexe beelden hebben. Dat f heeft geen vaste punten.

(0)
(0)
Commentaren - 0
Geen reacties

Voeg een Commentaar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha