Lebesgue maatregel

In de wiskunde, de Lebesgue maatregel is de meting doorgaans gebruikt voor de subsets van een Euclidische ruimte van dimensie n. Het is een positieve maatregel compleet met een veralgemening van de elementaire begrippen van het gebied en het volume van subsets van Euclidische ruimte vormt. Sets waar je een Lebesgue maatregel toewijst heten Lebesgue meetbare of Lebesgue-meetbaar.

Het is een maat schaal gebruikt in wiskundige analyse, en in het bijzonder op de definitie van de integraal van Lebesgue. Als we aannemen dat het axioma van keuze is niet alle sets zijn in Lebesgue-meetbaar, en een klassiek voorbeeld van niet-meetbare set is de set van Vitali. Het gedrag van niet-meetbare sets ontstaat resultaten als de Banach-Tarski, die ook een gevolg van de keuzeaxioma.

Henri Lebesgue beschreef zijn maatregel in 1901, een jaar later gevolgd door de beschrijving van de integraal van Lebesgue. Beiden werden gepubliceerd als onderdeel van zijn proefschrift in 1902.

Definitie

Om de Lebesgue-maat definiëren moet een bepaalde klasse van elementaire sets voeren. Zijn:

twee dragers met elkaar.

Een set als volgt uit:

zei -cella.

Het definieert het volume van een aantal cellen:

Het laat zien dat er een positieve maatregel gedefinieerd op een volledige sigma-algebra zodanig dat:

  • Het heeft:
  • Een reeks behoort als en slechts als er bestaan ​​in een set unie met de meer telbare aantal open en een set kruising bij de meeste telbare aantal gesloten, zodanig dat:
  • De maatregel wordt onveranderlijk door vertaling, te weten:
  • Als het een Borel maatregel invariant door translatie en op dat:

De elementen zijn de sets van Lebesgue meten wordt gezegd dat Lebesgue maatregel.

In het bijzondere geval waarin en continu is, dan is de integraal van Riemann:

en Lebesgue integraal:

Ze zijn samenvallen.

Eigenschap

De Lebesgue maatregel heeft de volgende eigenschappen:

  • Als het een Cartesiaans product intervallen van de vorm, dan is het Lebesgue meetbaar en, indien geeft de lengte van de i-ste.
  • Als het de disjuncte vereniging van een eindige of aftelbare disjuncte verzamelingen van Lebesgue meetbaar, dan is het Lebesgue-meetbaar en is gelijk aan de som van de maatregelen van de betrokken meetbare sets.
  • Als het Lebesgue-meetbaar, dan zo is zijn complement.
  •  Voor elke set Lebesgue-meetbaar.
  • Indien en zijn Lebesgue meetbare en is een onderdeel van, dan als gevolg van de tweede, derde en vierde punt.
  • Telbare bonden en kruispunten van Lebesgue-meetbare sets zijn Lebesgue meetbaar ten gevolge van de tweede en derde punten.
  • Als het een subset van open of gesloten, dan is het Lebesgue meetbaar.
  • Als is een reeks Lebesgue-meetbaar, of een set van de maatregel nul, dan is elke subset van een set van de maatregel nul.
  • Als het Lebesgue-meetbaar en de vertaling van de middelen wordt bepaald door Lebesgue-meetbare en heeft dezelfde maat.

Alle verklaringen hierboven kan worden samengevat door te zeggen dat de Lebesgue meetbare sets vormen een σ-algebra die alle producten van de intervallen, en is de enige invariante maat voor vertalingen en vul deze sigma-algebra. De Lebesgue maatregel heeft ook de eigenschap dat sigma-over, dat je de hele ruimte met telbare vereniging van subsets van eindige Lebesgue maatregel kan vullen.

Sets van de maatregel nul

Het is een deelverzameling van een reeks handeling nul indien voor elk kunnen worden bedekt met een telbaar aantal producten intervallen waarvan de totale volume maximaal. Alle telbare zijn sets nul maatregel, alsmede in sets waarvan de grootte kleiner is dan bijvoorbeeld in rechte lijnen of cirkels.

Om te laten zien dat een bepaalde set is Lebesgue meetbaar, meestal proberen te vinden een meer "aangenaam" die alleen verschilt voor een set van maatregelen nul en laten dan is dat kan worden gegenereerd met behulp van telbare vakbonden en kruispunten van open verzamelingen of gesloten .

De bouw van de Lebesgue maatregel

De moderne constructie van de Lebesgue-maat, op basis van de buitenafmetingen, is te wijten aan Carathéodory. Voor elke subset kan worden gedefinieerd:

waarbij de telbare vereniging van producten intervallen en de som van de produkten van de lengte van de intervallen betrokken. Aangetoond kan worden dat het een buitenafmeting. Het definieert dan alle Lebesgue meetbare indien:

voor alle sets. Door de stelling van Carathéodory deze collecties Lebesgue-meetbare vorm van een σ-algebra, en de Lebesgue maatregel wordt bepaald door een reeks Lebesgue-meetbaar.

Volgens de stelling van Vitali, als de keuzeaxioma toelaten, is een deelverzameling van de reële getallen die niet Lebesgue meetbaar. Anders worden ze niet weten voorbeelden van subsets van niet-Lebesgue meetbaar.

Betrekkingen met andere maatregelen

De Borel maatregel valt samen met de Lebesgue maatregel sets waarvoor deze is gedefinieerd; Echter, er zijn veel meer sets Lebesgue-meetbare sets Borel-meetbare. De Borel maatregel is onveranderlijk kan vertalingen, maar niet volledig.

Het Haar maatregel kan worden gedefinieerd op een lokaal compacte groep en is een veralgemening van de Lebesgue maatregel.

De Hausdorff maatregel een veralgemening van de Lebesgue maatregel pas bij het meten reeksen kleiner dan, als deelvariëteiten bijvoorbeeld oppervlakken of bochten, fractal sets.

(0)
(0)
Commentaren - 0
Geen reacties

Voeg een Commentaar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha