Numerieke oplossing methoden voor gewone differentiaalvergelijkingen

De numerieke oplossing methoden voor gewone differentiaalvergelijkingen kunnen oplossen in een ongeveer ODE anderszins onbehandelbaar.

Single-stap methoden

Een numerieke methode voor het oplossen van een differentiaalvergelijking definieert een stap als voor elke hangt alleen. Verder praten we over meerstaps of meerstapswerkwijze.

Euler methoden

Euler methode

Het is expliciet methode om een ​​differentiaalvergelijking oplossen. Aangezien de vergelijking van de vorm:

met de eerste voorwaarde:

gedefinieerd in het domein is het eerst nodig om het domein discretiseren met een stap, het krijgen van de discrete punten, waar en met. Op dit moment is de procedure om de vergelijking van de raaklijn aan de functie vervangen:

Op deze wijze wordt de oplossing een som van lineaire functies "afgekapt":

waarin:

voor.

Backward Euler methode

Het is een impliciete methode voor het oplossen van een differentiaalvergelijking, afgeleid dall'approximation derivaat met de eindige verschil achteruit:

die toegepast op de differentiaalvergelijking wordt:

gelijk aan:

van waaruit we de algemene kwadratische formule:

Om de vergelijking op te lossen is derhalve leidt tot een probleem van het zoeken naar de nulpunten van een functie. Hoewel het ook een werkwijze van de eerste orde, is het in het algemeen stabieler in dezelfde expliciete wijze. De Euler methoden worden vrijwel uitsluitend gebruikt in de numerieke analyse, omdat je gewoon kunt oplossen differentiaalvergelijkingen met behulp van de computer.

Werkwijze trapezoïden

Niet altijd de bovenstaande werkwijzen kan worden gebruikt bij de aanpassing van numerieke differentiaalvergelijkingen. Bijvoorbeeld in het geval van de lineaire slinger:

de twee Euler methoden leidt, tijdens het proces van digitalisering, naar het midden zetten in een vuur. Er zijn daarom andere werkwijzen, een daarvan is de werkwijze van trapezoïden. Als hieronder volstaat lid toevoegen lid de formule van Euler en de achterwaartse Euler de nieuwe methode afleiden,: Deze methode is echter afgeleid van de werkwijzen van Euler:

De naam werkwijze voort uit het feit dat de resulterende formule heeft dezelfde vorm gebruikt om de bepaalde integraal van de functie als de oppervlakte van een trapezium benaderen.

Heun methode

Bereken eerst:

Vervolgens berekenen:

Meerstapsmethoden

Deze methoden en niet op het berekenen ook. Met al deze methoden, moet u eerst gebruik maken van een single-stap methode om de eerste te berekenen.

Methode Adams-Bashforth

Expliciete methode:

Het werd gebruikt door John Couch Adams differentiaalvergelijkingen van de theorie van capillariteit lossen.

Methode Adams-Moulton

Impliciete methode:

Predictor-Corrector methoden

Een methode predictor-corrector wordt gevormd van een expliciete methode en een impliciete methode. Vanaf de eerste wordt expliciet methode om een ​​benadering te berekenen. Vervolgens wordt deze benadering toegepast bij de werkwijze impliciet par berekenen betere benadering. Het voordeel van een dergelijke methode is te voorkomen het oplossen van een vergelijking geïmpliceerd. Een voorbeeld van een predictor corrector methode is de methode van Adams-Bashforth de werkwijze volgens Adams-Moulton.

Wijze van aanpassing aan de macht serie

De machtreeks is een algoritme voor het opbouwen van functies en oplossingen van lineaire differentiaalvergelijkingen. De procedure is een formele macht serie te bouwen, zodat de coëfficiënten voldoen aan de differentiaalvergelijking, in het bijzonder het gebruik van de afgeleide serie, en controleer dat de keuze van de coëfficiënten geeft een convergente reeks, dan convergeert naar een functie.

Voorbeeld

Overwegen:

Het bouwt formeel serie:

de evaluatie van de eerste termen:

hetgeen neerkomt op de respectieve bevoegdheden van:

Deze reeks is convergent een keus van de som van deze reeks, die een functie is van de klasse, een oplossing voor de differentiaalvergelijking.

Natuurlijk, het algoritme geldt ook voor lineaire differentiaalvergelijkingen van hogere orden.

(0)
(0)
Commentaren - 0
Geen reacties

Voeg een Commentaar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha