Pierre Simon Laplace

Pierre-Simon Laplace, markies de Laplace, was een wiskundige, natuurkundige, astronoom en Franse edelman. Het was een van de toonaangevende wetenschappers in de Napoleontische periode.

Het gaf fundamentele bijdragen op verschillende gebieden van de wiskunde, astronomie en kansrekening en is een van de meest invloedrijke wetenschappers in zijn tijd, voor zijn bijdrage aan de bevestiging van determinisme. Laplace, in feite, gaf de definitieve doorbraak wiskundige astronomie met een samenvatting en uitbreiding van het werk van zijn voorgangers in zijn werk in vijf volumes Mécanique Céleste. Dit meesterwerk heeft de studie van geometrische mechanica ontwikkeld door Newton één gebaseerd op de wiskundige analyse getransformeerd.

In 1799 werd hij benoemd tot minister van Binnenlandse Zaken door Napoleon in 1806 kreeg hij de titel van graaf van het Rijk. Markies werd benoemd in 1817, na het herstel van de Bourbons.

Biografie

Jeugd

Simon Laplace werd geboren in Beaumont-en-Auge in Normandië op 23 maart 1749. De zoon van een kleinschalige boer of misschien een arbeider, had zijn opleiding aan de belangstelling voor een aantal rijke buren door zijn capaciteiten en zijn goede looks. Is zeer weinig bekend van zijn vroege jaren sinds het werd illustere verbrak de betrekkingen met zijn beide ouders en zijn weldoeners. Het lijkt erop dat hij als jongen een assistent op de school in Beaumont was geworden; maar dan, na een brief van de invoering van de D'Alembert aanbesteed, ging hij naar Parijs om zijn geluk te beproeven. Achter de aanbeveling van de wiskundige, werd hij aangeboden een plaats in de militaire school waar hij begon zijn loopbaan als leraar.

Rijpheid

Zeker van zijn vermogen, Laplace op dit punt is gewijd aan oorspronkelijk onderzoek en voor de komende zeventien jaar, 1771-1787, maakte hij veel van zijn originele werk over astronomie. Deze begonnen met een geheugen lezen voordat de Académie Française in 1773, waaruit bleek dat de planetaire bewegingen dicht bij die door de Newtoniaanse theorie voor langere tijd blijft en meldde de controle totdat de blokjes en excentriciteit van ' inclinatie banen. Daarna volgden diverse artikelen over een aantal essentiële punten van integrale calculus, eindige verschillen, differentiaalvergelijkingen, en astronomie. Het moet echter aangeven dat een aantal belangrijke ontdekkingen van deze items, als correspondent van sferische harmonischen in twee dimensionale ruimte, was al eerder door Legendre gepubliceerd in een document verzonden naar de Academie in 1783.

In 1785 werd hij lid van de Académie des Sciences en in 1816 werd verkozen tot de Académie Française. Ook werd hij lid van alle belangrijke Europese wetenschappelijke academies. Dankzij de intense wetenschappelijke activiteit oefende een grote invloed op de wetenschappers van zijn tijd, in het bijzonder on-Lambert Adolphe Jacques Quetelet en Siméon Poisson. Hij wordt soms herinnerd als de Franse Newton om haar natuurlijke en buitengewone wiskundige vaardigheid dat geen van zijn tijdgenoten bezaten. Het lijkt erop dat Laplace was niet bescheiden over zijn capaciteiten en de resultaten, en waarschijnlijk zou het effect van zijn gedrag op de collega's niet begrijpen. Anders Johan Lexell bezocht de Académie des Sciences in Parijs in 1780-1781 en meldde dat:

Na zijn werk op hemelse mechanica, Laplace uiteengezet om een ​​werk dat zou moeten "bieden een complete oplossing van het grote probleem van de mechanica vertegenwoordigd door het zonnestelsel en breng theorie schrijven zo nauw samen met observatie dat empirische vergelijkingen zou de meeste zijn gevonden plaats in de astronomische tabellen. Het resultaat is ingesloten nell'Exposition du système du monde en de Mécanique Céleste.

De Mécanique Céleste werd gepubliceerd in vijf volumes. De eerste twee, gepubliceerd in 1799, bevat methoden voor het berekenen van de bewegingen van de planeten, om hun formulieren te bepalen en om problemen in verband met de getijden te lossen. De derde en vierde delen, respectievelijk gepubliceerd in 1802 en 1805, bevatten toepassingen van deze methodes en diverse astronomische tabellen. Het vijfde deel, gepubliceerd in 1825, is vooral historisch, maar in de bijlage bevat de resultaten van het laatste onderzoek Laplace. Ze zijn talrijk en significant maar toegeëigend veel resultaten van andere onderzoekers met weinig of geen herkenning en conclusies zijn eigenlijk slechts veroorzaakt een eeuw georganiseerde patiënt werk van anderen, vaak genoemd alsof gevolg van Laplace.

Het argument van de Mecanique Celeste is uitstekend, maar het is niet gemakkelijk te lezen. Biot, die bijgestaan ​​Laplace bij de herziening voor de pers, zei hij dat Laplace was zelf vaak niet in staat om de details in de redenering en demonstratie vinden, als het overtuigd is dat de conclusies correct waren, was blij om de uitdrukking aanvrager invoeren De oostelijke aisé à voir .... In feite is het begrip van deze betogingen zou hebben mentale capaciteit gelijk aan zijn vereist. Deze gewoonte zou vaak gemaakt moeten later veel van zijn resultaten soms nodig een aantal dagen in beslag herwerken.

De Mécanique céleste niet alleen de vertaling van de Principia in de taal van de differentiaalrekening, maar complete delen die Newton niet in staat voor detail was geweest.

In dit Laplace uiteengezet hij de hypothese dat het zonnestelsel gevormd na de condensatie van een nevel. Het idee van de nevel werd al verkondigd door Kant in 1755, maar het is niet waarschijnlijk dat Laplace was bewust.

In 1812 publiceerde Laplace zijn Theorie des analytique Probabilités. Gemeend wordt dat een dergelijke theorie alleen gezond verstand uitgedrukt in wiskundetaal. In deze bundel gaf Laplace beslissende bijdrage aan de kansrekening die nu wordt beschouwd als een van de vaders. In 1819 publiceerde Laplace een eenvoudig verslag van zijn werk op kans.

De politieke carrière

Tijdens zijn leven, Laplace, vaak veranderde politieke oriëntatie. Wanneer de stroom van Napoleon toegenomen, Laplace verliet zijn republikeinse principes en smeekte de eerste consul hem de post van minister van Binnenlandse Zaken te geven. Napoleon, die de steun van de mannen van de wetenschap wilde, ingestemd met het voorstel, maar in minder dan zes weken, de politieke carrière van Laplace zag het einde. De communicatie van Napoleon aan zijn ontslag was de volgende:

Hoewel Laplace werd verwijderd uit zijn ambt, onderhield hij zijn loyaliteit. Hij ging naar de Senaat en het derde deel van de Mécanique Céleste deed vooraf een notitie waarin staat dat van alle waarheid die in het meest dierbaar de auteur was de verklaring die hij had gedaan over zijn toewijding naar de vredestichter van Europa. In verkochte exemplaren na de restauratie, werd geannuleerd. In 1814 was het duidelijk dat het Rijk werd falende en Laplace haastte zich om zijn diensten aan te bieden aan de Bourbons. Tijdens de restauratie werd hij beloond met de titel van markies. De minachting die zijn collega's voelde voor zijn gedrag bij die gelegenheid kan worden gezien van de pagina's van Paul Louis Courier. Kennis van Laplace nuttig waren voor de vele wetenschappelijke commissies waartoe hij behoorde en waarschijnlijk verklaren waarom hij sloot een oog op zijn politiek opportunisme.

Dat Laplace was eigenwijs en egoïstisch wordt niet ontkend door zijn vurigste bewonderaars; zijn gedrag tegenover zijn weldoeners van de jeugd en zijn politieke vrienden was ondankbaar en het is duidelijk zijn verduistering van de resultaten van degenen die relatief onbekend waren. Onder degenen die hem op deze manier had behandeld, drie werd later bekend. Ze hebben nooit het onrecht waarvan zij slachtoffer waren vergeten. Aan de andere kant moeten we zeggen dat op een aantal zaken bleek een onafhankelijke karakter te hebben en nooit verborgen zijn zienswijzen over religie, filosofie of wetenschap als ze ongewenst aan de autoriteiten aan de macht zou kunnen zijn; moeten we ook toevoegen dat tegen het einde van zijn leven, en in het bijzonder tegen het werk van zijn studenten, Laplace was royaal en in één geval weggelaten zijn artikel, zodat een student de exclusieve verdienste van het onderzoek zou kunnen hebben.

Wetenschappelijke bijdragen

Hemelmechanica

Laplace gaf een waardevolle bijdrage aan hemelmechanica met Lagrange concepten om de beweging van de lichamen te verklaren. Hij bracht het grootste deel van zijn leven bezig met astronomie en wiskunde zijn werk culmineerde in de verificatie van de dynamische stabiliteit van het zonnestelsel in de veronderstelling dat het bestaat uit een reeks van starre lichamen bewegen in de ruimte. Zelfstandig formuleerde de hypothese van de nevel, die al in 1755 de hypothese door Immanuel Kant. Het was een van de eerste onderzoekers het bestaan ​​van gaten zwarten en het begrip gravitationele instorting postuleren.

Volgens de nevelhypothese, zou het zonnestelsel worden ontwikkeld op basis van een bolvormige massa van gloeiende gas dat draaide rond een as die door het centrum van de massa. Koeling deze massa zou worden beperkt en een aantal concentrische ringen zou worden losgemaakt van de buitenste rand. Deze ringen dan raffreddatisi zou worden gecondenseerd tot planeten. The Sun is de kern van de nevel, was nog steeds gloeiend, zou blijven uitstralen. Vanuit dit oogpunt moeten we verwachten dat de meer verre planeten zijn ouder dan die dichter bij de zon. Het idee van substantiële theorie, zij het met een aantal belangrijke veranderingen, is het nog steeds geaccepteerd.

Laplace begreep ook het concept van het zwarte gat. Hij toonde aan dat er sprake zou kunnen zijn massieve sterren met de zwaartekracht zo groot dat zelfs licht niet voldoende snelheid om eruit te komen van hen zou hebben. Laplace ook gespeculeerd dat sommige van de getoond door telescopen nevels maakten geen deel uit van de Melkweg en zijn zelf sterrenstelsels. Dus Laplace geanticipeerd op de grote ontdekking van Edwin Hubble, een eeuw voordat het gebeurde.

In de loop der jaren 1784-1787 produceerde hij een aantal herinneringen met unieke resultaten. Van bijzonder belang hiervan is dat van 1784, herdrukt in het derde volume van de Mecanique Celeste, binnen waarvan volledig bepaald de aantrekkingskracht van een sferoïde een deeltje buiten het. Het is onvergetelijk voor de introductie in de analyse van sferische harmonischen of Laplace coëfficiënten.

Als de coördinaten van twee punten en zijn, en indien r 'r ≥ dan de reciproke van de afstand daartussen kan worden ontwikkeld met behulp van de krachten van r / r, en de respectieve coëfficiënten van de coëfficiënten van Laplace. Hun nut voort uit het feit dat elke functie met de coördinaten van een punt op de bol in serie op zodanige wijze kunnen worden ontwikkeld.

Dit artikel is ook aanzienlijk potentieel voor de ontwikkeling van het idee, dat Lagrange had toegeëigend, die had gebruikt in zijn memoires van 1773, 1777 en 1780. Laplace toonde aan dat de potentiële voldoet altijd de differentiaalvergelijking:

en dit resultaat was gebaseerd op zijn latere werk over aantrekkelijkheid. De hoeveelheid werd gedefinieerd als de dichtheid en de waarde in elk punt geeft de overmaat ten opzichte van de gemiddelde waarde in de buurt van het punt. De Laplace vergelijking, of een meer algemene vorm, verschijnt in alle takken van de mathematische fysica.

Tussen 1784 en 1786 publiceerde een geheugen op Jupiter en Saturnus voorgedaan waarbij, door middel van reeks van verstoring, die voor de lange stukken van het samenspel van twee planeten nooit kan hebben een significante invloed op de eigenaardigheden en neigingen van hun banen. Hij merkte op dat de bijzondere kenmerken van het Jovian systeem waren te wijten aan het feit dat de gemiddelde bewegingen van Jupiter en Saturnus waren erg dicht bij commensurabiliteit. Hij ontdekte ook de cyclische aard van de beweging van de twee planeten, geschat op ongeveer 900 jaar, zodanig dat de twee planeten lijken onderlinge versnellingen en vertragingen oefenen. Deze verandering was al naar Joseph-Louis Lagrange, Laplace bekend, maar slechts leidde haar terug naar een cyclische beweging, bevestigt het idee dat het zonnestelsel presenteren een aantal willekeurige bewegingen niet te groot tijdschaal. De ontwikkelingen van deze studies planetenbeweging werden blootgesteld in zijn twee memoires van 1788 en 1789.

Het jaar 1787 was onvergetelijk door de analyse van Laplace van de relatie tussen de maan versnelling en de seculiere veranderingen in de excentriciteit van de baan van de Aarde gemaakt: dit onderzoek afgerond van de demonstratie van de stabiliteit van het hele zonnestelsel. Hij probeerde bijvoorbeeld verklaren waarom de baanbeweging van de maan lijdt een lichte versnelling die niet varieert de lengte van de maanmaand van een seconde 3 duizend jaar veroorzaakt door een langzame verandering excentriciteit aarde. In werkelijkheid werd later aangetoond dat deze versnelling is vanwege de wederzijdse aantrekkingskracht getijden die de neiging heeft om de beweging van omwenteling en de rotatie van organen synchroniseren: ten onrechte in de werkwijze, maar nam de markering bij de evaluatie van de berekeningen.

Fysica

De theorie van de attractie is te wijten aan capillair Laplace, die de bij Hauksbee Philoilosophical Transacties voorgesteld in 1709 aanvaarde idee, volgens welke het fenomeen veroorzaakt door een aantrekkingskracht die waarneembaar redelijke afstanden was. Het deel dat betrekking heeft op de werking van een vaste stof van een vloeistof en de wisselwerking van twee vloeistoffen niet volledig ontwikkeld, maar niet uiteindelijk voltooid Carl Friedrich Gauss. In 1862 Lord Kelvin zou blijken dat, als we aannemen dat de moleculaire aard van de materie, de wetten van de aantrekkingskracht capillair kan worden afgeleid uit de Newtons wet van de zwaartekracht.

Laplace in 1816 als eerste expliciet bewijs aangevoerd waarom Newtons oscillerende beweging verschaft een onnauwkeurige waarde van de geluidssnelheid. De werkelijke snelheid groter is dan die berekend Newton door de warmte ontwikkeld door de plotselinge compressie van lucht die elasticiteit en daarmee de snelheid van het geluid uitgezonden toeneemt. Onderzoek van Laplace in de fysieke praktijk beperkt was tot degenen die hij voerde samen met Lavoisier in de jaren 1782-1784 op de soortelijke warmte van de verschillende organen.

Kansrekening

Terwijl het uitvoeren van veel onderzoek in de fysica, een ander hoofdthema waaraan hij wijdde zijn inspanningen was de theorie van waarschijnlijkheid. In zijn Essai sur les Probabilités philosophique, Laplace geformaliseerd de wiskundige proces van redeneren door inductie op basis van de kans, die we nu herkennen als die van Thomas Bayes. In 1774 behaalde hij de Bayes theorema waarschijnlijk niet bewust zijn van het werk van Bayes. Een bekende formule die afkomstig is van haar werkzaamheden is de regel van de opvolging. Veronderstel dat een gebeurtenis slechts twee mogelijke uitkomsten, genoemd "succes" en "falen". In de veronderstelling dat je weet weinig of niets a priori over de relatieve waarschijnlijkheid van de uitkomsten, Laplace afgeleid van een formule voor de kans dat de uitkomst na een succes.

waarin s het aantal successen eerder waargenomen en n het totale aantal tests waargenomen. Deze formule wordt nog steeds gebruikt als een schatting van de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis als je de ruimte van de gebeurtenissen te weten, maar je hebt slechts een klein aantal monsters.

De regel van de opvolging is onderhevig aan veel kritiek geweest, deels te wijten aan het voorbeeld dat Laplace koos om het te illustreren. Inderdaad, berekende hij de kans dat de zon morgen, aangezien het altijd ontstaan ​​in het verleden, de uitdrukking

waarbij d het aantal keren dat de zon is gestegen in het verleden. Dit resultaat werd verkregen door tegenspraak, en sommige auteurs hebben geconcludeerd dat alle toepassingen van de regel van de opvolging zijn absurd bij uitbreiding. Echter, Laplace was volledig bewust van de absurditeit van het resultaat; na het voorbeeld, schreef hij, maar dit aantal is veel groter voor hen die overwegen de principes die de dag te regeren en de seizoenen in de totaliteit van de gebeurtenissen, meteen beseft dat niets haar huidige koers kan stoppen.

Ook in 1774 hij expliciet de integrale Euler gemaakt

maar het kan worden beschouwd als de vader van de Gauss als geen verband met de wet op de fouten.

In 1779 wees Laplace de werkwijze het schatten van de verhouding tussen het aantal positieve gevallen het totale aantal mogelijke gevallen. Het bestaat uit gezien opeenvolgende waarden van elke functie als de coëfficiënten van de ontwikkeling van een functie met betrekking tot een andere variabele. Deze tweede functie wordt daarom wel de genererende functie van het vorige jaar. Laplace zien hoe, door middel van interpolatie, kunnen deze coëfficiënten worden bepaald uit de genererende functie. Hij geconfronteerd dan het tegenovergestelde probleem, het vinden van de coëfficiënten genereren functie door het oplossen van een vergelijking eindig verschil. De werkwijze is omslachtig en, gezien de verdere ontwikkeling van de analyse wordt nu zelden gebruikt.

Zijn verhandeling Theorie analytique des Probabilités omvat een tentoonstelling van de methode van de kleinste kwadraten, een opmerkelijke getuigenis van de beheersing van Laplace over de procedures van de analyse. De methode van de kleinste kwadraten, door tal van observaties, was empirisch verklaard door Carl Friedrich Gauss en Legendre, maar het vierde hoofdstuk van dit werk bevat een formeel bewijs van het, die sindsdien op basis van de hele theorie van de fouten. Dit blijkt slechts door een complexer het bijzonder bedacht voor het doel, maar de vorm waarin het wordt aangeboden zo onvolledig dat ondanks de voortdurende nauwkeurigheid van de resultaten, we ons af of Laplace daadwerkelijk nauwkeurig het harde werk onderzochte dat hij zelf had zo kort en vaak verkeerd weergegeven.

Wiskunde

Onder de minder belangrijke ontdekkingen van Laplace in zuivere wiskunde u worden genoemd zijn bespreking van de algemene theorie van determinanten in 1772: zijn bewijs dat elke vergelijking zelfs graad ten minste één reële kwadratische factor, de reductie van de oplossing van lineaire differentiaalvergelijkingen te moeten bepaalde integralen; en de oplossing lineaire partiële differentiaalvergelijkingen van de tweede orde. Hij was ook de eerste om de moeilijke problemen in verband met gemengde verschil vergelijkingen beschouwen, en laten zien dat de oplossing van eindige differentievergelijking van de eerste graad en de tweede orde altijd kon worden verkregen in de vorm van een kettingbreuk. Naast deze originele vondsten besloot hij, in zijn theorie van waarschijnlijkheid, de waarden van de meest voorkomende bepaalde integralen; en in hetzelfde boek gaf hij de algemene bewijs van de stelling verkondigd door Joseph-Louis Lagrange voor de ontwikkeling van elke reeks impliciete functie met behulp van differentiële coëfficiënten.

De Laplace-transformatie, maar ook al is genoemd in zijn eer, want hij gebruikte het in zijn werk over de theorie van waarschijnlijkheid, werd oorspronkelijk ontdekt door Euler. De Laplace-transformatie verschijnt in alle takken van de mathematische fysica, een gebied waarvan de vorming Laplace in hoge mate bijgedragen.

Filosofische overtuigingen

In tegenstelling tot veel andere grote wiskundigen Laplace niet wiskunde zag als een discipline van de bijzondere waarde, maar als een nuttig hulpmiddel voor wetenschappelijk onderzoek en praktische problemen. Laplace lijkt de analyse als een instrument om te gaan met lichamelijke problemen te hebben beschouwd, hoewel de vaardigheid waarmee hij de analyse die nodig is voor dat doel had uitgevonden is bijna buitengewoon. Tot zijn resultaten waren waar hij niet veel zorg aan de stappen les verklaren; hij had nooit verzorgd de elegantie en symmetrie in haar werkzaamheden, en het was genoeg voor hem om te slagen met een aantal middelen om het specifieke probleem dat gericht was op te lossen.

Hij geloofde vast in causaal determinisme, die goed wordt uitgedrukt in het volgende citaat uit de inleiding all'Essai:

Het verwijst vaak naar deze intellect als Laplace's demon. De beschrijving van de hypothetische intellect hierboven beschreven door Laplace als een kleine duivel is echter niet door Laplace, maar door latere biografen: Laplace hoopte dat de mensheid zijn wetenschappelijk begrip van de wereld zou verbeteren en geloofde dat, ook al had afgerond, is het Het zou nog steeds een enorme rekenkracht nodig hebben om volledig te bepalen op elk moment. Maar terwijl Laplace zag eerste concrete problemen van de mensheid om deze fase van de kennis en de berekening, de daaropvolgende theorieën van de kwantummechanica, die door filosofen werden aangenomen en het verdedigen van het bestaan ​​van de vrije wil te bereiken, zelfs uitgedaagd de theoretische mogelijkheid van het bestaan ​​van een dergelijke "intellect".

Er is onlangs voorgesteld een beperking van de effectiviteit van berekening van het universum, dat wil zeggen het vermogen van Laplace demon om een ​​grote hoeveelheid gegevens te verwerken. De limiet heeft betrekking op de maximale entropie van het heelal, de snelheid van het licht en de minimale hoeveelheid tijd die nodig is om informatie over een lengte gelijk aan de lengte van Planck te dragen; het blijkt te zijn 2 bits. "derhalve alles wat nodig dan deze hoeveelheid gegevens niet kunnen worden berekend in de hoeveelheid tijd die tot dusver in het heelal is verstreken.

Hoewel Laplace dacht aan een superieure intellect betekende dat hij het alleen als een gedachte-experiment, een gok. Niet echt geloven in het bestaan ​​van een dergelijk begrip: het was in feite een atheïst of agnost minstens zo de volgende anekdote, waarschijnlijk waar:

Laplace in feite bevond zich in een positie om te bedelen Napoleon om een ​​kopie van zijn werk Expositie accepteren du système du monde. Had gemeld aan de keizer dat het boek bevatte geen vermelding van de naam van God en Napoleon, die graag genante vragen te stellen, kreeg hij Laplace maken observatie

Laplace, die, al was hij de meest meegaande politici, was er vast van overtuigd van dit punt in zijn filosofie, stopte hij en zei botweg,

Napoleon, erg geamuseerd, verteld dat dit antwoord op Lagrange, die riep: "Oh Dit is een mooie hypothese;!. Het verklaart een hoop"

Het is echt niet duidelijk, ook volgens de commentatoren van de tijd, als het antwoord van Laplace aan Napoleon is bedoeld als een proclamatie van het atheïsme, of gewoon als een weigering om de filosofie van de natuur een Opperwezen die voortdurend ingrijpen in het heelal introduceren Het was een borg van de kosmische orde, zoals het bijvoorbeeld noodzakelijk werd geacht door Newton.

In feite Laplace steeds niet gemaakt publiek bekend door zijn werken, hun religieuze opvattingen, hoewel nog steeds nell'Essai philosophique des Probabilités bespot Gottfried Leibniz, Luigi Guido Grandi en John Craig, die betoogde dat de wiskunde kan worden gebruikt om steun het idee van de rol van God in de natuur. De vriend astronoom Jérôme Lalande Laplace ingevoegd in het woordenboek van de atheïst Sylvain Maréchal, maar dit is niet bijzonder betrouwbaar, omdat, onder andere, geeft dezelfde Jezus Christus.

Echter, ongeacht de overtuigingen van Laplace over het bestaan ​​van God, is het zeker dat hij anti-christelijke overtuiging. Het is bewaard gebleven tot op de dag van een manuscript dateert uit de periode van de voorbereiding dell'Essai philosophique des Probabilités waar Laplace legt slechts beschouwen als een mythologie, het christendom en hoe absurd bijgeloof haar dogma's en wonderen.

Honors

Dankwoord

Hij werd gewijd aan een asteroïde, 4628 Laplace

Belangrijkste werken

  • Mécanique céleste
  • Theorie analytique des Probabilités
  • Essai philosophique des Probabilités
  • Exposition du système du monde
(0)
(0)
Commentaren - 0
Geen reacties

Voeg een Commentaar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha