Spectrale representatie signalen

In de elektronica, de spectrale representatie van de signalen is een abstracte beschrijving van de signalen die zij als vectoren in Hilbert ruimte, een ruimte oneindige dimensies beschouwd.

Een bijzondere voorstelling vaak gebruikt om de doorvoer van signalen bestuderen door middel van LTI systemen is de ontwikkeling in de reeks van sinusvormige functies via de vertegenwoordiging in een Fourier-reeks periodieke signalen en de vertegenwoordiging van de niet-periodieke signalen via de Fourier-transformatie.

Hilbert ruimte en orthonormale bases

De Hilbertruimte is een lineaire ruimte. Gegeven een stel signalen wordt aangetoond dat de eigenschappen gelden:

met. Er zijn neutraal elementen voor de som en het product met een scalair en bestaat ook alleen ook het omgekeerde van dat bedrag. In dit verband kan de afhankelijkheid en lineaire onafhankelijkheid van vectoren en het basisconcept definiëren. Een base is een set van onafhankelijke vectoren die ook een systeem van generatoren, namelijk dat een stelsel vectoren lineair onafhankelijk en vormen een compleet systeem zodat elke vector is gerepresenteerd als een som van basisvectoren van mogelijk oneindig:

waar zijn de coëfficiënten. De Hilbert ruimte is een genormeerde ruimte, dat u de norm van een vector kunnen introduceren, het is een reëel getal dat:

Er zijn verschillende regels voor abstracte ruimten, maar signaal is nuttig om de volgende voorstellen:

of het algemene geval van complexe signalen:

De invoering van een regel maakt het ook mogelijk om het concept van de metrische introduceren, waardoor de Hilbertruimte ook een metrische ruimte.

Het Hilbert ruimte een ruimte met een scalair product, dat kan worden gedefinieerd als:

of, in het geval de vectoren complex:

met de eigenschappen:

Eenmaal ingevoerd de wiskundige apparaat van de vector signalen, kunt u de energie van een signaal te definiëren:

Merk op dat de energieën niet additief in het Hilbert ruimte van de signalen, namelijk:

waar de laatste term heet kruis energie.

Orthonormale bases

Om een ​​signaal te vertegenwoordigen handig om een ​​orthonormale basis gebruikt. Twee vectoren zijn orthogonaal indien:

Stel dat er een set van orthogonale vectoren, dan kunnen ze normaliseren door te delen door hun standaard, zodat:

Vervolgens een signaal in het bereik kan worden ontwikkeld in een Fourier reeks:

waarbij de coëfficiënten automatisch bepaald door het scalair product:

De orthonormale basis meest voorkomende is die van de harmonische functies in:

Vertegenwoordiging van periodieke signalen

Van bijzonder belang zijn de periodieke signalen, dat wil zeggen die signalen waarvoor waarbij de periode dat zijn de signalen die identiek herhaald na enige tijd. In dit geval is het gebruik van harmonische functies is bijzonder geschikt omdat ze regelmatig en zijn invariant lineaire transformaties.

Overweeg een continu periodiek signaal. U kunt de Fourier-reeks gebruiken om dit signaal te vertegenwoordigen:

wanneer coëfficiënten bepaalbaar het scalair product en de orthonormale basis van harmonische functies. Als het de fundamentele pulseren, de vorige optelling de vorm:

De eerste term is een constante en alle andere termen een lineaire combinatie van geschikte coëfficiënten en harmonische functies.

Bepaling van de coëfficiënten

Om de coëfficiënten te bepalen en maakt meestal gebruik van de stip product. De constante is gelijk aan de gemiddelde waarde van het signaal in de definitie, en te bewijzen u met de volledige lengte:

De integraal over een periode van harmonische functies nul symmetrie. Daarom:

dat is, de gemiddelde waarde van het signaal in de tijd. Om het uitvoeren van de coëfficiënten scalair product te bepalen:

waarvan wordt verkregen:

Alle termen met de sinus en cosinus zijn nul in de periode, zodat de voorwaarden gemengd. Voor welke:

We hebben:

Om het uitvoeren van de coëfficiënten scalair product op dezelfde manier te bepalen:

Alle termen met de cosinus en sinus nul in de periode, zodat de voorwaarden gemengd. Voor welke:

waarvan:

Eigenschappen van de representatie van de Fourier series

In de weergave van het signaal met behulp van de Fourier-reeks van een periodiek signaal kan worden ontleed in een constante term, waarbij de gemiddelde waarde van het signaal representeert, hoe een oneindig aantal harmonischen van meervoudige frequentie van de grondtoon. Elk van deze harmonischen een amplitude hebben die gelijk is aan:

en een eerste fase:

Definiëren:

kunt u de serie herschrijven als:

Indien het signaal een even functie van de tijd, dat wil zeggen, indien dan al de harmonischen die de borsten bevatten opheffen. Waarbij de reeks wordt:

met coëfficiënten:

Ook als het signaal een oneven functie van de tijd, dat wil zeggen wanneer alle harmonischen dat de cosinus bevatten geannuleerd en de serie wordt:

met coëfficiënten:

Complexe vorm van de Fourier series

U kunt nog steeds gebruik maken van de Euler formules:

een alternatieve vorm van de Fourier series verkrijgen:

de term tussen haakjes kunnen worden herschreven door te wijzen op de exponentiële:

sinds:

De nieuwe tarieven zijn:

Door deze wiskundige transformaties kunt u de Fourier-reeks herschrijven als:

waarbij:

Opgemerkt wordt dat de serie ook wordt gedefinieerd door n negatief.

Vertegenwoordiging van de niet-periodieke signalen

De representatie van periodieke signalen werd uitgevoerd met de orthonormale basis gevormd door harmonische functies. Elk signaal kan niet worden vertegenwoordigd door een Fourier reeks: typische voorbeelden van niet-periodieke signalen pulsen die herhaald worden met tussenpozen van gelijke afstanden of helemaal niet herhaald. Met de Fouriertransformatie kan zelfs niet periodieke signalen representeren door de bouw van een periodiek signaal gegeven door de oneindige herhaling van een niet-periodiek signaal, bepaald in een tijdsinterval waarbuiten nul. Op deze wijze verhogen van de amplitude van het interval waarop berekent de Fourier-reeks van het signaal van de coëfficiënten van de reeks benadert de waarde van de Fourier transformatie van het signaal zelf, en de som van de reeks benadert de waarde van de inverse transformatie. Vooral de coëfficiënten van de reeks zijn de waarden van de Fourier transformatie bemonsterd op intervallen van een breedte, en in het geval waar het signaal identiek nul is buiten het interval integratiewaarde van de n Fourier-coëfficiënt die gelijk is De getransformeerde geëvalueerd.

De complexe Fourier-reeks voor het signaal verkregen door de herhaling in de tijd van een niet-periodiek signaal:

waar het wordt vervangen. Om terug te keren naar de vorm van de echte signaal wordt gespannen. Pulsering n is, en het is gedefinieerd:

De coëfficiënt kan worden herschreven:

waarheen. Dan wordt de complexe Fourier reeks:

het maken van doel, je hebt:

dan de vorige relatie wordt:

waarvan het de spectrale representatie van het signaal in het tijdsdomein. De functie heet spectrale densiteit en is gelijk aan:

De laatste twee gelijkheden zijn de inverse transformatie en Fourier transformatie, zoals verwacht. Merk op dat deze geldig zijn onder bepaalde omstandigheden, de belangrijkste daarvan is dat het bestaat en eindig overal:

Als deze voorwaarde geldt en de inverse transformatie zijn continue functies, en is beperkt

Eigenschappen van de Fouriertransformatie

Uit de lineariteit van de integrale volgt onmiddellijk de lineariteit van de Fourier transformatie, uitdrukkelijk:

en voor elk.

Dit volgt direct uit de definitie dat een verschuiving van de functie leidt tot een exponentiële vermeerdering van de transformatie en vice versa.

Reële en imaginaire deel van de getransformeerde

De transformatie van een echt signaal kan generiek worden geschreven:

met het reële deel van de transformatie en een even functie, terwijl het imaginaire deel van het spectrum en een oneven functie. Als je het omgekeerde wordt opnieuw verkregen het signaal in real-time:

Ontwikkeling van het product binnen de integrale geldt:

Zodat het signaal echt noodzakelijkerwijs gebeuren dat de reële en imaginaire deel zijn beide nul, dat wil zeggen:

en deze voorwaarde is voldaan indien het reële deel is vlak en het imaginaire deel is oneven. Het is ook waar, dus als het reële deel van de transformatie van een signaal en ook de imaginaire deel oneven dan een echte signaal te verkrijgen we.

Spectrum van de afgeleide van een signaal

Zowel een signaal en het transformeren. Vervolgens wordt de afgeleide van het signaal:

Waarbij de transformatie is de transformatie van en.

Spectrum van de integraal van een signaal

Zowel een signaal en het transformeren. Vervolgens wordt de transformatie van de integraal van het signaal.

Product van twee signalen

Als u het product te transformeren van de twee signalen van bekende spectrum individuele en vervolgens:

dus uiteindelijk:

Dit product is de convolutie integraal en symbolisch geschreven als:

Het omgekeerde is ook waar, als je het gewone product van twee spectra:

(0)
(0)
Commentaren - 0
Geen reacties

Voeg een Commentaar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha